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湖北省黄冈中学2012届高三五月适应性考试_数学(文科)

发布时间:

湖北省黄冈中学 2012 届高三适应性考试 数学(文史类)试题
(时间:120 分钟 满分:150 分)

★祝考试顺利★
一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下图是《集合》的知识结构图,如果要加入“子集”,则应该放在( A.“集合的概念”的下位 B.“集合的表示”的下位 C.“基本关系”的下位 D.“基本运算”的下位 2、在 ? A B C 中, ? B A C ? 3 0 ? , A B ? A C ? 2 3 ,则 ? A B C 的面积为 A.1 B.2 C. 3 D.
3 2

)

??? ???? ?

i=12 s=1 DO s= s ﹡ i i = i-1 LOOP UNTIL “条件” PRINT s END (第 3 题)

3、如果右边程序执行后输出的结果是 132,那么在程序 UNTIL 后面的“条件”应为 A.i > 11 B. i >=11 C. i <=11 D.i<11

4、下面四个命题: ①“直线 a∥直线 b”的充要条件是“a *行于 b 所在的*面” ; ②“直线 l ⊥*面 ? 内所有直线”的充要条件是“ l ⊥*面 ? ” ;

③“直线 a、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a、b 不相交” ; ④“*面 ? ∥*面 ? ”的必要不充分条件是“ ? 内存在不共线三点到 ? 的距离相等” ; 其中正确命题的序号是 A.①② B.②③ C..③④ D.②④ 5、一动圆圆心在抛物线 x ? ? 8 y 上,且动圆恒与直线 y ? 2 ? 0 相切,则动圆必过定点
2

A. ( 4 , 0 )

B. ( 0 , ? 2 )

C. ( 2 , 0 )
1 2

D. ( 0 , ? 4 ) AB,则二面角 B—AD—C D.90?

6、把正三角形 ABC 沿高 AD 折成二面角 B—AD—C 后,BC= A.30? B.45? C.60?

7、函数 y ? sin( ? x ? ? )( x ? R , ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 A. ? ? C. ? ?
?
2 ,? ? ,? ?

?
4

B. ? ? D. ? ?

?
3

,? ? ,? ?

?
6 5? 4

?
4

?
4

?
4

1

8、已知函数 y ? | lo g 1 x |的定义域为 ? a , b ? ,值域为 ? 0, 2 ? ,则区间 ? a , b ? 的长度 b ? a 的最
2

小值是 A.2 B.
3 2

C.3

D.

3 4

9、小王于 2008 年 6 月 1 日到银行在一年期定期储蓄 a 元,以后的每年 6 月 1 日他都去银行 存入一年定期储蓄 a 元,若每年的年利率 q 保持不变,且每年到期的存款本息均自动转为新 一年期定期储蓄,到 2012 年 6 月 1 日,小王去银行不再存款,而是将所有存款本息全部取 出,则取出的金额是( )元. A. a (1 ? q )
4

B. a (1 ? q )

5

C.

a q

[(1 ? q ) ? (1 ? q )]
4

D. [(1 ? q ) ? (1 ? q )]
5

a q

10、设 f(x) 是定义域为 R 的奇函数,g(x)是定义域为 R 的恒大于零的函数,且当 x ? 0 时有 f ? ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ? ( x ) .若 f ?1 ? ? 0 ,则不等式 f ? x ? ? 0 的解集是 A. ? ? ? , ? 1 ? ? ?1, ?? ? C. ? ? ? , ? 1 ? ? ?0 ,1 ? B. ? ? 1, 0 ? ? ?0 ,1 ? D. ? ? 1, 0 ? ? ?1, ?? ?

二、填空题:本小题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对 应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
11.已知
z 1 ? 2i ? 3 ? i ,则复数 z 在复*面上对应的点所在的象限是

.

12.已知点 O 为坐标原点,点 A 在 x 轴上,正 ? O A B 的面积为 3 ,其斜二测画法的直观
' 图为 ? O A B ,则点 B 到边 O A 的距离为
' ' '

'

'

.

13. 右图是 1 、 2 两组各 7 名同学体重(单位: k g )数据的茎叶图.设 1 , 2 两组数据的* 均数依次为 x1 和 x 2 ,标准差依次为 s 1 和 s 2 ,那么
x1 x 2 , s1
s 2 (比较大小,填写 ? ? ? ).

14.如图,已知 ABCDEF

为正六边形,若以 C , F 为焦点 13 题图
A B

的双曲线恰好经过 A , B , D , E 四点,则该双曲线的离心率 为 .
?x ? y ? 4 ? 15.已知点 P 的坐标 ( x , y ) 满 足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 ?x ? 1 F ?

C

C :x ? y
2

2

? 14 相 交 于 A 、 B 两 点 , 则 A B 的 最 小 值

E

D




2

14 题图

16.设 y ? (lo g 2 x ) ? ( t ? 2 ) lo g 2 x ? t ? 1, 若 t 在 ? ? 2, 2 ? 上变化时, y 恒取正值,则 x 的取 值范围是 . (写出所有正确的命题的序号)

17. 下列命题中正确的是

①若线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段 AB 与坐标*面 yo z *行;
2

②若 a , b ? [0,1] ,则不等式 a ? b ? 1 成立的概率是
2 2

?
4



2 ③命题 P : ? x ? ? 0,1 ? , e ? 1 . 命题 Q : ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 . 则 P ? Q 为真;

x

④ f ( x ) 是 ? ? ? , 0 ? ? ? 0, ? ? ? 上的奇函数, x ? 0 时的解析式为 f ( x ) ? 2 ,则 x ? 0 时的解
x

析式为 f ( x ) ? ? 2

?x



三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。
18、已知等比数列 { a n } , a 2 ? 2 , a 5 ? 128 (1)求通项 a n ; (2)若 b n ? lo g 2 a n ,数列 {b n } 的前 n 项的和为 S n ,且 S n ? 3 6 0 ,求 n 的值.

19、 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组, 得到的频率分布表如下左图所示. (Ⅰ)请先求出频率分布表中 x 、 y 的值,再在答题纸上完成下列频率分布直方图; (Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽 取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试, 求第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率?

编号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) 合计

频数 5 x 30 20 10 100

频率 0.050 0.350 y 0.200 0.100 1.000

3

20、黄岩岛(图 2 中 O 点位置)是中国固有领土,是中国中沙群 岛中惟一露出水面的岛礁,它在中沙环礁 B 的南偏东 60?方向,距 中沙环礁约 160 海里. 某日, 在黄岩岛附*作业的中国渔船遭到菲 律宾军舰的骚扰,通过北斗定位系统,渔船迅速将情况报告了在南 海巡航的中国渔政 310 船, 渔政 310 船决定迅速赶往出事地点进行 执法.此时,某观测卫星 A 在中沙环礁 B 的正上方,测得黄岩岛 O 的俯角为 68.20?,测得渔政船 C 的俯角为 63.43?,并在黄岩岛 O 的北偏东 60?方向上. (Ⅰ)计算渔政船离中沙环礁的距离; (Ⅱ)渔政船以 25 海里/时的速度直线行驶,能否在 3 小时内 赶到出事地点? (参考数据: sin 68.20 ? ? 0.93, tan 68.20 ? ? 2.50, sin 6 3 .4 3 ? ?
0 .9 0 , tan 63.43 ? ? 2.00 , 11 ? 3.62 , 13 ? 3.61 )

图1 A

C B 图2
2 2 2 2

O

21、已知椭圆 M :

x a

?

y b

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

2 3

2

,且椭圆上一点与椭圆的两个

焦点构成的三角形周长为 6 ? 4 2 . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 交于 A , B 两点,且以 A B 为直径的圆过椭圆的右顶点 C , 求 ? ABC 面积的最大值.

22、已知函数 f ( x ) ? x ?
2

2 x

? a ln x ( x ? 0 ),

(Ⅰ)若函数 y= f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的切线 l 在两坐标轴上的截距相等,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 [1, ?? ) 上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅲ) 若定义在区间 D 上的函数 y ? f ( x ) 对于区间 D 上的任意两个值 x 1、 x 2 总有以下不等 式 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f (
) 成立,则称函数 y ? f ( x ) 为区间 D 上的“凹函数”.试证 2 2 当 a ? 0 时, f ( x ) 为“凹函数” 1 x1 ? x 2

4

2012 届高三适应性文数参考答案
一、1、C 2、A 3、D 4、D 5、B 6、C 7、C 8、D 9、D 10、A 二、11.第四象限 12、 17、 ①②④
4 三、18、 (1)? a 2 ? a1 q ? 2 , a 5 ? a1 q ? 1 2 8 ? q ? 6 4,? q ? 4, a1 ?
3

6 4

13、<,<

14、 3 ? 1

15、4 16、 ? 0,
?

?

1? ? ? ? 8, ? ? ? 2?

1 2

? a n ? a1 q

n ?1

?

1 2

?4

n ?1

? 2

2n?3

…………………………5 分
? 2n ? 3

(2) b n ? lo g 2 a n ? lo g 2 2

2n?3

? bn ?1 ? bn ? [ 2 n ? (

1) ?

? ]n?2 ? 3) 3 (
? 360

2

? { b n } 是以 b1 ? ? 1 为首项,2 为公差的等差数列,? S n ?

( ? 1 ? 2 n ? 3) n 2

? n ? 2 n ? 3 6 0 ? 0 ,? n ? 20 或 n ? ? 1 8 (舍去)
2

? n ? 20

……12 分 ?? 1 分 ??? 2 分 ??? 5 分

19、解: (Ⅰ)由题可知,第 2 组的频数 x ? 0.35 ? 100 ? 35 人, 第 3 组的频率为
30 100 ? 0 .3 0 0 ,

频率分布直方图如下:

(Ⅱ)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 每组分别为:第 3 组: 第 4 组: 第 5 组:
20 60 10 60 ? 6 ? 1 人, 30 60 ? 6 ? 2 人, ? 6 ? 3 人,

??? 6 分 ? ?? 7 分 ??? 8 分

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。 (Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B 2 ,第 5 组的 1 位同学 为 C 1 ,则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:

5

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B 2 ), ( A1 , C 1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B 2 ), ( A2 , C 1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B 2 ), ( A3 , C 1 ), ( B1 , B 2 ), ( B1 , C 1 ), ( B 2 , C 1 ),

????? 10 分

第 4 组至少有一位同学入选的有:
( A1 , B1 ), ( A1 , B 2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B 2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B 2 ), ( A3 , B 2 ), ( B1 , C 1 ), ( B 2 , C 1 ), 9 种可能。 所以其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B 2 至少有一位同学入选的

概率为

9 15

?

3 5

???? 12 分

20、解: (1)依题意: B O ? 160 海里, A B ? * 面 B O C ,
? A O B ? 68.20 ?, ? A C B ? 63.43 ?, ? B O C ? 60 ? ? 60 ? ? 120 ? .

在 R t ? A B O 中, A B ? B O ? tan 68.20 ? ? 160 ? 2.50 ? 400 (海里) , 在 R t ? A B C 中, B C ?
AB tan 6 3 .4 3 ? ? 2 0 0 (海里) ,

2分 4分

故渔政船离中沙环礁的距离约为 200 海里. (2)设 O C ? x (海里) ,在 ? B O C 中,由余弦定理得
B O ? O C ? 2 B O ? O C ? co s ? B O C ? B C ,
2 2 2

6分

即1 6 0 ? x ? 2 ? 1 6 0 x ? ( ?
2 2

1 2

) ? 2 0 0 , 化简得 x ? 1 6 0 x ? 1 4 4 0 0 ? 0,
2

2

10 分

解得:x ? ? 8 0 ? 4 0 1 3 , 因为 x>0, 所以 x ? 40 13 ? 80 ? 40 ? 3.61 ? 80 ? 64.40(海里) .
? 64.4 ? 25 ? 2.576 ? 3 ,故可以再 3 小时内赶到出事地点.

13 分

21、解: (Ⅰ)因为椭圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 6 ? 4 2 , 所以 2 a ? 2 c ? 6 ? 4 2 , 又椭圆的离心率为
2 3 2

1分
c a ? 2 2 3

,即

,所以 c ?

2 2 3

a,

2分 4分

所以 a ? 3 , c ? 2 2 . 所以 b ? 1 ,椭圆 M 的方程为
x
2

? y ? 1.
2

5分
1 n

9

(Ⅱ)方法一:不妨设 BC 的方程 y ? n ( x ? 3), ( n ? 0) ,则 AC 的方程为 y ? ?
? y ? n ( x ? 3), 1 ? 2 2 2 2 由? x2 得( ? n )x ? 6n x ? 9n ? 1 ? 0 , 2 9 ? y ?1 ? ? 9

( x ? 3) .

6分

6

设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,因为 3 x 2 ?
27 ? 3 n 9?n
2 2

8 1n ? 9
2

9n ? 1
2

,所以 x 2 ?

27 n ? 3
2

9n ? 1
2

, 7分

同理可得 x 1 ?



8分

所以 | BC |?

1? n

2

6 9n ? 1
2

, | AC |?
1 n

1? n n

2

6n

2 2

9?n



10 分

S ? ABC ?

1 2

2(n ? | BC || AC |? (n ?
1 n ? 2 ,则 S ?
2

)


64 9
2 t? 64 9t 3 8

12 分

1

) ?
2

设t ? n ?

n 2t
t ? 64 9

?

?



13 分

当且仅当 t ?

8 3

时取等号,所以 ? ABC 面积的最大值为

3 8

.

14 分

方法二:不妨设直线 A B 的方程 x ? ky ? m .
? x ? ky ? m , ? 2 2 2 由? x2 消去 x 得 ( k ? 9 ) y ? 2 km y ? m ? 9 ? 0 , 2 ? y ? 1, ? ? 9
2 km k ?9
2

6分

设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则有 y1 ? y 2 ? ?

, y1 y 2 ?

m ?9
2

k ?9
2

.



7分

因为以 A B 为直径的圆过点 C ,所以 C A ? C B ? 0 . 由 C A ? ( x1 ? 3, y1 ), C B ? ( x 2 ? 3, y 2 ) , 得 ( x1 ? 3)( x 2 ? 3) ? y1 y 2 ? 0 . 将 x1 ? ky1 ? m , x 2 ? ky 2 ? m 代入上式, 得 ( k ? 1) y1 y 2 ? k ( m ? 3)( y1 ? y 2 ) ? ( m ? 3) ? 0 .
2 2

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

8分

将 ① 代入上式,解得 m ? 所以 m ?
12 5

12 5

或 m ? 3 (舍).
12 5 , 0 ) ,与椭圆有两个交点) ,

10 分

(此时直线 A B 经过定点 D (
1 2 | D C || y 1 ? y 2 |

所以 S ? A B C ?
?

1 2

?

3 5

( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ?
2

9 5

2 5( k ? 9 ) ? 1 4 4
2

2 5( k ? 9 )
2

2

.

12 分

7

设t ?

1 k ?9
2

,0 ? t ?

1 9

,则 S ? A B C ?

9 5

?

144 25

?t ? t .
2

1 3 ? (0 , ] 时, S ? A B C 取得最大值 . 288 9 8 2 a ' 22、 (Ⅰ)? f ( x ) ? 2 x ? 2 ? ( x ? 0 ) , x x a ' ? f ?1 ? ? 2 ? 2 ? ? a , 又 f ?1 ? ? 3 , 1 ? 切线 l 的方程为 y ? 3 ? a ( x ? 1), 即 y ? ax ? a ? 3 .

所以当 t ?

25

14 分 1分 2分 3分

? 切线 l 在两坐标轴上的截距相等, 故①当直线 l 过原点时, ? a ? 3 ? 0, a ? 3;

②当直线 l 不过原点时, a ? ? 1 . 所以 a ? 3 或 ? 1 . (Ⅱ)由 f ? x ? ? x ?
2

5分
? a x

2 x

? a ln x ,得 f

'

?x? ?
'

2x ?

2 x
2

若函数为 [1, ?? ) 上单调增函数,则 f ? x ? ? 0 在 [1, ?? ) 上恒成立 即不等式 2 x ? 令? ( x ) ? 而? ( x ) ?
2 x 2 x

2 x
2

?
2

a x

? 0 在 [1, ?? ) 上恒成立. 也即 a ?

2 x

? 2 x 在 [1, ?? ) 上恒成立
2

7分 8分

? 2 x ,上述问题等价于 a ? ? ( x ) m ax . ? 2 x 为在 [1, ?? ) 上的减函数,则 ? ( x ) m ax ? ? (1) ? 0 ,
2

于是 a ? 0 为所求 (Ⅲ)证明:由 f ? x ? ? x ?
2

9分
2 x
? 1 ? x1 ?

? a ln x 得
x1 ? x 2 1 1 ? a 2 2 ? a ln ? ? ? ln x1 ? ln x 2 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? x2 ? 2 2 x1 x 2

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 2

?

1 2

?x

2 1

? x2

2

???

x1 x 2

x ? x2 4 ? x ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? f ? 1 ? a ln 1 ??? ? ? 2 2 x1 ? x 2 2 ? ? ? ?

2

10 分
2



1 2

?x

2 1

? x2
2

2

??

1

? x ? x2 ? ? ? x1 2 ? x 2 2 ? ? 2 x1 x 2 ? ? ? 1 ? ? ? 4 2 ? ?
2 2


x1 ? x 2 x1 x 2 ? 4 x1 ? x 2

11 分 ② 12 分

又 ? x1 ? x 2 ? ? ? x1 ? x 2 ∵
x1 x 2 ? x1 ? x 2 2

? ? 2x x
1

2

? 4 x1 x 2 ,
x1 ? x 2 2

∴ ,

∴ ln
x1 x 2 ? a ln

x1 x 2 ? ln
x1 ? x 2 2

∵a ? 0

∴ a ln
1 2


? a ln 4 ? x ? x2 ? x1 x 2 ? ? 1 ? a ln ? ? 2 x1 ? x 2 ? ?
2

13 分
x1 x 2

由①、②、③得
f

?x

2 1

? x2

2

??

x1 ? x 2 x1 x 2



? x1 ? ?
2

f

? x2 ?

? x ? x2 ? ? f ? 1 ? ,从而由凹函数的定义可知函数为凹函数 2 ? ?

14 分

8




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